电路分析中线性叠加原理的数学解释

叠加原理解释

线性叠加原理在电路分析中的适用性源于电路的线性特性。下面从线性代数与线性性的角度进行解释：

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1. 线性系统的基本性质

一个系统是线性的，当且仅当它同时满足：

• 齐次性（比例性）：若输入 $x$ 产生输出 $y$ ，则输入 $kx$ 产生输出 $ky$ （ $k$ 为常数）。
• 可加性：若输入 $x_1$ 产生输出 $y_1$ ，输入 $x_2$ 产生输出 $y_2$ ，则输入 $x_1 + x_2$ 产生输出 $y_1 + y_2$ 。

两者结合为叠加性：

$$a x_1 + b x_2 \ \to\ a y_1 + b y_2$$

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2. 电路的线性性

电路由线性元件（如线性电阻、线性电容、线性电感）和独立源组成时，其描述方程是线性方程：

• 电阻： $v = Ri$ （代数线性）
• 电容： $i = C \frac{dv}{dt}$ （线性微分关系）
• 电感： $v = L \frac{di}{dt}$

这些元件的电压-电流关系（VCR）是线性的，因此由它们构成的电路满足线性系统的定义。

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3. 线性代数视角：线性算子

设电路变量（电压、电流）构成向量 $\mathbf{x}$ ，独立源构成向量 $\mathbf{f}$ ，则电路方程可写为：

$$\mathbf{L} \mathbf{x} = \mathbf{f}$$

其中 $\mathbf{L}$ 是线性算子（直流时为矩阵，动态时为线性微分算子）。
线性算子的定义是：

$$\mathbf{L}(a \mathbf{x}_1 + b \mathbf{x}_2) = a \mathbf{L} \mathbf{x}_1 + b \mathbf{L} \mathbf{x}_2$$

证明叠加原理：
若 $\mathbf{L} \mathbf{x}_1 = \mathbf{f}_1$ ， $\mathbf{L} \mathbf{x}_2 = \mathbf{f}_2$ ，则对于激励 $\mathbf{f} = a \mathbf{f}_1 + b \mathbf{f}_2$ ，令 $\mathbf{x} = a \mathbf{x}_1 + b \mathbf{x}_2$ ，有：

$$\mathbf{L} \mathbf{x} = a \mathbf{L} \mathbf{x}_1 + b \mathbf{L} \mathbf{x}_2 = a \mathbf{f}_1 + b \mathbf{f}_2 = \mathbf{f}$$

即解可叠加。这直接从线性算子的性质得出。

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4. 动态电路的推广

对于动态电路（RLC电路），描述方程为线性微分方程：

$$\mathcal{L} x(t) = f(t)$$

微分算子 $\mathcal{L}$ 也是线性的，因此叠加原理同样成立。例如，在正弦稳态分析中，相量法也依赖于线性叠加。

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5. 应用条件与限制

• 仅适用于线性电路：若电路包含非线性元件（如二极管、晶体管非线性区），叠加原理不成立。
• 独立源处理：应用时，每次只保留一个独立源，其他独立源“置零”：
  • 电压源短路（ $V=0$ ）
  • 电流源开路（ $I=0$ ）
• 受控源：线性受控源应保留，因其是线性模型的一部分，但不受置零影响（非独立源）。

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6. 总结

从数学本质看，叠加原理是线性系统的内在性质。电路分析中的叠加原理成立，是因为：

1. 线性元件的VCR是线性的；
2. 电路方程是线性代数或线性微分方程；
3. 线性算子满足可加性和齐次性，从而解空间构成线性空间。

因此，我们可以将多个独立源的作用分解为单个源作用的线性叠加，简化分析。这是线性代数在线路理论中的直接体现。

场景一

以包含两个电压源和三个电阻的典型电路为例，具体电路结构如下：

• 两个电压源 $V_1$ 和 $V_2$ ，三个电阻 $R_1$ 、 $R_2$ 、 $R_3$ 。
• 连接方式：节点 A 和 B 之间有三条支路：
  • 支路1：电压源 $V_1$ 与电阻 $R_1$ 串联，参考方向从 A 到 B（经过 $V_1$ 正到负，再经 $R_1$ ）。
  • 支路2：电压源 $V_2$ 与电阻 $R_2$ 串联，参考方向从 A 到 B。
  • 支路3：电阻 $R_3$ ，参考方向从 B 到 A。
• 设定电流参考方向： $I_1$ 、 $I_2$ 从 A 到 B， $I_3$ 从 B 到 A。

方法一：经典欧姆定律（基尔霍夫定律）求解

列出方程：

1. $V_A - V_B = V_1 + I_1 R_1$
2. $V_A - V_B = V_2 + I_2 R_2$
3. $V_A - V_B = -I_3 R_3$
4. KCL： $I_1 + I_2 = I_3$

设 $V = V_A - V_B$ ，解得：

$$V = \frac{\frac{V_1}{R_1} + \frac{V_2}{R_2}}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}}$$

进而求得各电流，它们都是 $V_1$ 和 $V_2$ 的线性组合。

方法二：叠加原理求解

步骤1：仅 $V_1$ 作用（ $V_2$ 短路） 电路变为 $V_1$ 、 $R_1$ 、 $R_2$ 、 $R_3$ 构成网络。列出相同参考方向的方程：

• $V^{(1)} = V_1 + I_1^{(1)} R_1$
• $V^{(1)} = I_2^{(1)} R_2$
• $V^{(1)} = -I_3^{(1)} R_3$
• $I_1^{(1)} + I_2^{(1)} = I_3^{(1)}$

解得：

$$V^{(1)} = \frac{\frac{V_1}{R_1}}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}}, \quad I_1^{(1)} = \frac{V^{(1)} - V_1}{R_1}, \quad I_2^{(1)} = \frac{V^{(1)}}{R_2}, \quad I_3^{(1)} = -\frac{V^{(1)}}{R_3}$$

步骤2：仅 $V_2$ 作用（ $V_1$ 短路） 类似地，解得：

$$V^{(2)} = \frac{\frac{V_2}{R_2}}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}}, \quad I_1^{(2)} = \frac{V^{(2)}}{R_1}, \quad I_2^{(2)} = \frac{V^{(2)} - V_2}{R_2}, \quad I_3^{(2)} = -\frac{V^{(2)}}{R_3}$$

步骤3：叠加

$$I_1 = I_1^{(1)} + I_1^{(2)}, \quad I_2 = I_2^{(1)} + I_2^{(2)}, \quad I_3 = I_3^{(1)} + I_3^{(2)}$$

结果与方法一完全一致。

对比与线性性解释

1. 线性方程结构：经典解法得到 $V$ 和 $I$ 均为 $V_1$ 、 $V_2$ 的线性组合，形式为 $a V_1 + b V_2$ 。
2. 线性算子：电路方程可写为 $\mathbf{L} \mathbf{x} = \mathbf{f}$ ，其中 $\mathbf{L}$ 为线性算子（由电阻、拓扑结构决定）， $\mathbf{f}$ 为激励源向量。线性算子满足： $$\mathbf{L}(a \mathbf{x}_1 + b \mathbf{x}_2) = a \mathbf{L} \mathbf{x}_1 + b \mathbf{L} \mathbf{x}_2$$ 因此，若 $\mathbf{L} \mathbf{x}_1 = \mathbf{f}_1$ ， $\mathbf{L} \mathbf{x}_2 = \mathbf{f}_2$ ，则对于激励 $\mathbf{f} = \mathbf{f}_1 + \mathbf{f}_2$ ，解为 $\mathbf{x} = \mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2$ 。
3. 叠加本质：电路由线性元件组成，描述方程是线性的，因此解具有可加性和齐次性。叠加原理将多源问题分解为多个单源问题，正是线性系统性质的直接应用。

综上，叠加原理在线性电路中成立，源于电路方程的线性本质，体现了响应与激励之间的线性关系。

场景二

对于两个等压电压源同向并联再与电阻串联的电路，我们分别用经典电路方程和叠加原理分析，并说明叠加原理的适用性及注意事项。

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电路设定

• 两个理想电压源： $V_1 = V$ ， $V_2 = V$ ，正极相连、负极相连，然后并联端与一个电阻 $R$ 串联形成回路。
• 定义总电流 $I$ 为流过 $R$ 的电流，方向从电压源正极通过 $R$ 流向负极。
• 每个电压源的电流分别为 $I_1$ 、 $I_2$ ，方向从负极到正极（放电方向），满足 $I = I_1 + I_2$ 。

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方法一：经典电路方程分析

两个电压源并联，端电压均为 $V$ ，因此电阻 $R$ 两端电压为 $V$ 。
由欧姆定律：

$$I = \frac{V}{R}$$

但每个电源的电流 $I_1$ 、 $I_2$ 无法确定，只需满足 $I_1 + I_2 = I = \frac{V}{R}$ 。
这表明在理想情况下，电流分配不唯一，系统有无穷多解。

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方法二：叠加原理分析

叠加原理要求每次只保留一个独立源，其他电压源置零（短路）。但理想电压源并联时，直接应用会导致问题：

1. **只保留 $V_1$ ，短路 $V_2$ **：
   $V_2$ 被短路， $V_1$ 直接经过短路的 $V_2$ 形成回路，该回路无电阻，电流理论上无穷大（无法计算）。
2. **只保留 $V_2$ ，短路 $V_1$ **：同样出现无穷大电流。

叠加时，两个无穷大电流相减？无法得到确定解。
问题根源：理想电压源并联导致电路方程奇异，违反叠加原理所要求的线性系统有唯一解的条件。

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解决方案：引入内阻

为应用叠加原理，给每个电压源串联一个小内阻 $r$ （设 $r_1 = r_2 = r$ ）。电路变为：

• 支路1： $V_1$ 与 $r$ 串联
• 支路2： $V_2$ 与 $r$ 串联
• 两支路并联后与 $R$ 串联。

叠加分析：

1. 仅 $V_1$ 作用（ $V_2$ 短路，保留其内阻 $r$ ）
   等效电阻： $R$ 与 $r$ 串联，再与另一个 $r$ 并联？实际结构：从电源正端经 $V_1$ 和 $r$ 到节点P，再经 $R$ 到负端；同时另一条路径从P经短路的 $V_2$ （只剩内阻 $r$ ）到负端。
   计算：总电阻 $R_{\text{总}} = r + (R \parallel r) = r + \frac{Rr}{R+r}$ 。
   总电流 $I^{(1)} = \frac{V}{r + \frac{Rr}{R+r}} = \frac{V(R+r)}{r(R+2r)}$ 。
   流过 $R$ 的电流（即外部电流）为 $I^{(1)}_{R} = I^{(1)} \cdot \frac{r}{R+r} = \frac{V r}{r(R+2r)} = \frac{V}{R+2r}$ 。
   同时，流过 $V_1$ 支路的电流 $I_1^{(1)} = I^{(1)}$ ，流过 $V_2$ 支路的电流 $I_2^{(1)} = -I^{(1)} \cdot \frac{R}{R+r}$ （负号表示方向与假设可能相反，需仔细定义）。

   更清晰的方法：直接求电压和分流。设节点P为两电源连接点，Q为经过R后的节点。用节点电压法：
   仅 $V_1$ 作用时， $V_2$ 短路（即内阻 $r$ 接地），电路变为 $V_1$ 与 $r$ 串联，然后并联一个 $r$ ，再与 $R$ 串联。
   设P点电压为 $V_P$ （相对于Q为地），则：

   $$\frac{V_P - V}{r} + \frac{V_P}{r} + \frac{V_P}{R} = 0$$

   解得 $V_P = \frac{V}{2 + \frac{r}{R}}$ ，于是流过 $R$ 的电流为 $I^{(1)}_R = \frac{V_P}{R} = \frac{V}{R(2 + \frac{r}{R})} = \frac{V}{2R + r}$ ？
   检查：如果 $r \to 0$ ，则 $I^{(1)}_R \to \frac{V}{2R}$ ，符合预期（两个电源并联等效电压为V，但只开一个时，等效内阻为另一个并联r，最终电流与直接分析一致）。
   实际上，更简单计算：仅 $V_1$ 作用时，从 $V_1$ 正极出发，经内阻 $r$ 到P点，然后电流分两路：一路经 $R$ 到地，另一路经另一个内阻 $r$ （ $V_2$ 短路）到地。所以P点对地电阻为 $R \parallel r$ ，因此总电流从 $V_1$ 流出为 $I_{V1} = \frac{V}{r + (R \parallel r)}$ ，然后分流得 $I^{(1)}_R = I_{V1} \cdot \frac{r}{R+r} = \frac{V}{r + \frac{Rr}{R+r}} \cdot \frac{r}{R+r} = \frac{V r}{r(R+r) + Rr} \cdot \frac{r}{R+r}$ ？ 不妨数值验证：令 $V=1, R=1, r=0.1$ ，则 $R \parallel r = 0.0909$ ，总电阻=0.1+0.0909=0.1909， $I_{V1}=5.238$ ，分流到R的比例=0.1/(1+0.1)=0.0909，所以 $I^{(1)}_R=5.238*0.0909=0.476$ 。
   直接公式： $I^{(1)}_R = \frac{V}{R+2r}$ ？代入得 1/(1+0.2)=0.8333，不一致。说明上述分流计算有误。
   正确计算：设P点电压为 $V_P$ ，对P点列KCL：

   $$\frac{V_P - V}{r} + \frac{V_P}{r} + \frac{V_P}{R} = 0 \quad \Rightarrow \quad \left(\frac{2}{r} + \frac{1}{R}\right) V_P = \frac{V}{r}$$ $$V_P = \frac{V/r}{2/r + 1/R} = \frac{V}{2 + r/R}$$ $$I^{(1)}_R = \frac{V_P}{R} = \frac{V}{R(2 + r/R)} = \frac{V}{2R + r}$$

   代入数值： $I^{(1)}_R = 1/(2+0.1)=1/2.1=0.4762$ ，与之前分流计算结果0.476一致。所以公式为 $I^{(1)}_R = \frac{V}{2R + r}$ 。

2. 仅 $V_2$ 作用（ $V_1$ 短路）
   由对称性， $I^{(2)}_R = \frac{V}{2R + r}$ 。

3. 叠加
   总电流通过 $R$ ：

   $$I_R = I^{(1)}_R + I^{(2)}_R = \frac{2V}{2R + r} = \frac{V}{R + r/2}$$

   每个电源的电流可由叠加得到，例如 $I_1 = I_1^{(1)} + I_1^{(2)}$ ，其中 $I_1^{(1)}$ 是仅 $V_1$ 作用时 $V_1$ 支路的电流， $I_1^{(2)}$ 是仅 $V_2$ 作用时流经 $V_1$ 支路的电流（此时 $V_1$ 短路，该支路只有内阻 $r$ ）。
   仅 $V_1$ 作用时， $I_1^{(1)} = \frac{V}{r + (R \parallel r)}$ ，仅 $V_2$ 作用时，流过 $V_1$ 支路（内阻 $r$ ）的电流 $I_1^{(2)}$ 可由类似方法求得。最终可得 $I_1 = I_2 = \frac{I_R}{2}$ （对称情况）。

直接验证：用戴维南等效，从电阻 $R$ 看进去，等效电压为 $V$ （因为两个电源并联），等效内阻为两个 $r$ 并联即 $r/2$ ，所以总电流 $I_R = \frac{V}{R + r/2}$ ，与叠加结果一致。

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对比与解释

• 经典方程：在理想电压源并联时，直接分析得到总电流 $I = V/R$ ，但每个电源电流分配不确定，系统有无穷多解，这是因为理想电压源并联导致约束方程线性相关，系统矩阵奇异。
• 叠加原理：要求线性系统有唯一解。当引入内阻后，系统变成严格线性且非奇异，叠加原理适用，并能得到确定解。内阻趋于零时，总电流趋于 $V/R$ ，每个电源电流分配仍确定（各一半），但理想情况下分配失去唯一性。

结论：叠加原理适用于线性电路，但理想电压源并联时需谨慎。实际中，电压源总有内阻，因此叠加原理可正常应用，并给出确定解。从线性代数角度，引入内阻后系统矩阵满秩，响应是激励的线性函数，叠加原理成立。

线性代数实例解释

好的，我们从线性代数（矩阵方程 $L\mathbf{x} = \mathbf{f}$ ）的视角，具体拆解两个场景中“叠加前”（原多源问题）与“叠加中”（单源子问题）的对应形式，并清晰地展示叠加原理是如何体现的。

核心逻辑回顾

叠加原理的矩阵表述是：由于算子 $L$ 是线性的，若

$$L\mathbf{x}_1 = \mathbf{f}_1, \quad L\mathbf{x}_2 = \mathbf{f}_2$$

则对于总激励 $\mathbf{f} = \mathbf{f}_1 + \mathbf{f}_2$ ，其解必满足：

$$L(\mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2) = \mathbf{f}_1 + \mathbf{f}_2 = \mathbf{f}$$

因此，总解 $\mathbf{x} = \mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2$ 。

关键：在叠加过程中，系数矩阵 $L$ 保持不变，因为它仅由电路结构（拓扑）和线性元件参数（电阻值）决定，与激励源 $\mathbf{f}$ 无关。变化的只是激励向量 $\mathbf{f}$ 和待求的响应向量 $\mathbf{x}$ 。

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场景一：两个电压源与三个电阻的电路（桥式结构）

1. 叠加前（原问题，两源同时作用）

• **变量向量 $\mathbf{x}$ **：我们选择两个独立的网孔电流 $I_a, I_b$ 作为变量。 $$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} I_a \\ I_b \end{pmatrix}$$
• **激励向量 $\mathbf{f}$ **：两个独立电压源 $V_1, V_2$ 体现在方程右边。 $$\mathbf{f} = \begin{pmatrix} V_1 \\ -V_2 \end{pmatrix} \quad (\text{符号由参考方向决定})$$
• **系数矩阵 $L$ **：由电阻值根据网孔法规则构成。 $$L = \begin{pmatrix} R_1 + R_3 & -R_3 \\ -R_3 & R_2 + R_3 \end{pmatrix}$$
• 原方程： $$\underbrace{\begin{pmatrix} R_1 + R_3 & -R_3 \\ -R_3 & R_2 + R_3 \end{pmatrix}}_{L} \underbrace{\begin{pmatrix} I_a \\ I_b \end{pmatrix}}_{\mathbf{x}} = \underbrace{\begin{pmatrix} V_1 \\ -V_2 \end{pmatrix}}_{\mathbf{f}}$$

2. 叠加中（分解为单源子问题）

子问题1：仅 $V_1$ 作用 (设 $V_2 = 0$ ，短路)

• **激励向量 $\mathbf{f}_1$ **： $\mathbf{f}_1 = \begin{pmatrix} V_1 \\ 0 \end{pmatrix}$
• **系数矩阵 $L$ **：与原始电路完全相同，因为短路一个电压源并未改变电路的拓扑和电阻值。 $$L = \begin{pmatrix} R_1 + R_3 & -R_3 \\ -R_3 & R_2 + R_3 \end{pmatrix}$$
• 子方程及解： $$L \mathbf{x}_1 = \mathbf{f}_1 \quad \Rightarrow \quad \begin{pmatrix} R_1 + R_3 & -R_3 \\ -R_3 & R_2 + R_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_a^{(1)} \\ I_b^{(1)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} V_1 \\ 0 \end{pmatrix}$$ 解得 $\mathbf{x}_1 = \begin{pmatrix} I_a^{(1)} \\ I_b^{(1)} \end{pmatrix}$ 。

子问题2：仅 $V_2$ 作用 (设 $V_1 = 0$ ，短路)

• **激励向量 $\mathbf{f}_2$ **： $\mathbf{f}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ -V_2 \end{pmatrix}$
• **系数矩阵 $L$ **：仍然与原始电路完全相同。 $$L = \begin{pmatrix} R_1 + R_3 & -R_3 \\ -R_3 & R_2 + R_3 \end{pmatrix}$$
• 子方程及解： $$L \mathbf{x}_2 = \mathbf{f}_2 \quad \Rightarrow \quad \begin{pmatrix} R_1 + R_3 & -R_3 \\ -R_3 & R_2 + R_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_a^{(2)} \\ I_b^{(2)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -V_2 \end{pmatrix}$$ 解得 $\mathbf{x}_2 = \begin{pmatrix} I_a^{(2)} \\ I_b^{(2)} \end{pmatrix}$ 。

3. 叠加后（解的合成与原理体现）

• 激励叠加： $$\mathbf{f}_1 + \mathbf{f}_2 = \begin{pmatrix} V_1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ -V_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} V_1 \\ -V_2 \end{pmatrix} = \mathbf{f}$$
• 解叠加： $$\mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2 = \begin{pmatrix} I_a^{(1)} \\ I_b^{(1)} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} I_a^{(2)} \\ I_b^{(2)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_a^{(1)} + I_a^{(2)} \\ I_b^{(1)} + I_b^{(2)} \end{pmatrix}$$
• 原理体现：由于 $L$ 是线性算子，根据线性性质： $$L(\mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2) = L\mathbf{x}_1 + L\mathbf{x}_2 = \mathbf{f}_1 + \mathbf{f}_2 = \mathbf{f}$$ 这意味着 $\mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2$ 恰好就是原方程 $L\mathbf{x} = \mathbf{f}$ 的解 $\mathbf{x}$ 。这就是叠加原理的矩阵表达。

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场景二：两个带内阻的等压电压源并联

1. 叠加前（原问题，两源同时作用）

• **变量向量 $\mathbf{x}$ **：选择两个独立的回路电流 $I_1, I_2$ 。 $$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \end{pmatrix}$$
• **激励向量 $\mathbf{f}$ **：两个独立电压源。 $$\mathbf{f} = \begin{pmatrix} V \\ V \end{pmatrix}$$
• **系数矩阵 $L$ **：包含内阻 $r$ 和外电阻 $R$ 。 $$L = \begin{pmatrix} R + r & R \\ R & R + r \end{pmatrix}$$
• 原方程： $$\underbrace{\begin{pmatrix} R + r & R \\ R & R + r \end{pmatrix}}_{L} \underbrace{\begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \end{pmatrix}}_{\mathbf{x}} = \underbrace{\begin{pmatrix} V \\ V \end{pmatrix}}_{\mathbf{f}}$$

2. 叠加中（分解为单源子问题）

子问题1：仅左侧 $V$ 作用

• $\mathbf{f}_1 = \begin{pmatrix} V \\ 0 \end{pmatrix}$ ， $L$ 不变。
• 方程： $$\begin{pmatrix} R + r & R \\ R & R + r \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_1^{(1)} \\ I_2^{(1)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} V \\ 0 \end{pmatrix}$$

子问题2：仅右侧 $V$ 作用

• $\mathbf{f}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ V \end{pmatrix}$ ， $L$ 不变。
• 方程： $$\begin{pmatrix} R + r & R \\ R & R + r \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_1^{(2)} \\ I_2^{(2)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ V \end{pmatrix}$$

3. 叠加后与原理体现

与场景一完全类似：

$$\mathbf{f}_1 + \mathbf{f}_2 = \begin{pmatrix} V \\ V \end{pmatrix} = \mathbf{f}$$ $$L(\mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2) = L\mathbf{x}_1 + L\mathbf{x}_2 = \mathbf{f}_1 + \mathbf{f}_2 = \mathbf{f}$$

因此 $\mathbf{x} = \mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2$ 。

关键对比与总结

特征	场景一（一般网络）	场景二（带内阻并联源）
叠加前	$L\mathbf{x} = \mathbf{f}$ ， $L$ 由所有电阻决定， $\mathbf{f}$ 包含所有源。	同上。
叠加中	** $L$ 始终保持不变**。每个子问题的激励向量 $\mathbf{f}_k$ 仅包含一个源，其他源位置为0。	同上。加入内阻 $r$ 确保了 $L$ 矩阵始终非奇异（可逆），这是叠加原理能给出确定、有限解的前提。
叠加后	各子解 $\mathbf{x}_k$ 之和满足原方程，这是线性算子 $L$ 可加性与齐次性的直接结果。	同上。如果 $r=0$ （理想源并联）， $L$ 将变成奇异矩阵，此时原方程解不唯一，且子问题方程（如 $L\mathbf{x}_1=\mathbf{f}_1$ ）可能无有限解（理想源短路回路），破坏了叠加原理的应用条件。

结论：从线性代数视角看，使用叠加原理分析电路，本质上是在保持描述系统的线性算子 $L$ 不变的前提下，将激励向量 $\mathbf{f}$ 按独立源进行线性分解（ $\mathbf{f} = \sum \mathbf{f}_k$ ），并分别求解子方程 $L\mathbf{x}_k = \mathbf{f}_k$ ，最后利用线性性将子解线性合成（ $\mathbf{x} = \sum \mathbf{x}_k$ ）得到总解。矩阵 $L$ 的“不变性”和“非奇异性”是这一过程成立的基础。

场景三

我们将通过一个包含两个电流源的电路（场景三）来展示叠加原理的应用，并从线性代数视角进行解释。

场景三：两个电流源与三个电阻的电路

电路设定

• 两个独立电流源： $I_{S1}$ 、 $I_{S2}$
• 三个电阻： $R_1$ 、 $R_2$ 、 $R_3$
• 连接方式（如图）：
  • 节点 A、B、C（C 为参考节点，接地）。
  • 电流源 $I_{S1}$ 从节点 A 流向节点 C。
  • 电流源 $I_{S2}$ 从节点 B 流向节点 C。
  • 电阻 $R_1$ 连接在节点 A 与 B 之间。
  • 电阻 $R_2$ 连接在节点 A 与 C 之间。
  • 电阻 $R_3$ 连接在节点 B 与 C 之间。
• 待求量：节点电压 $V_A$ 和 $V_B$ 。

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方法一：经典节点电压法（直接求解）

对节点 A 和 B 列写 KCL 方程：

节点 A：

$$\frac{V_A}{R_2} + \frac{V_A - V_B}{R_1} = I_{S1}$$

节点 B：

$$\frac{V_B}{R_3} + \frac{V_B - V_A}{R_1} = I_{S2}$$

整理成标准形式：

$$\left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) V_A - \frac{1}{R_1} V_B = I_{S1}$$ $$- \frac{1}{R_1} V_A + \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_3} \right) V_B = I_{S2}$$

写成矩阵方程 $L \mathbf{x} = \mathbf{f}$ ：

$$\underbrace{\begin{pmatrix} \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} & -\frac{1}{R_1} \\ -\frac{1}{R_1} & \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_3} \end{pmatrix}}_{L} \underbrace{\begin{pmatrix} V_A \\ V_B \end{pmatrix}}_{\mathbf{x}} = \underbrace{\begin{pmatrix} I_{S1} \\ I_{S2} \end{pmatrix}}_{\mathbf{f}}$$

直接求解（例如克莱姆法则）：

$$\Delta = \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_3} \right) - \left( \frac{1}{R_1} \right)^2 = \frac{1}{R_1 R_2} + \frac{1}{R_1 R_3} + \frac{1}{R_2 R_3}$$ $$V_A = \frac{1}{\Delta} \left[ I_{S1} \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_3} \right) + I_{S2} \cdot \frac{1}{R_1} \right]$$ $$V_B = \frac{1}{\Delta} \left[ I_{S1} \cdot \frac{1}{R_1} + I_{S2} \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) \right]$$

可见 $V_A$ 、 $V_B$ 均为 $I_{S1}$ 、 $I_{S2}$ 的线性组合。

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方法二：叠加原理求解

步骤1：仅 $I_{S1}$ 作用（ $I_{S2}$ 开路）

此时 $I_{S2} = 0$ ，电路方程变为：

$$\left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) V_A^{(1)} - \frac{1}{R_1} V_B^{(1)} = I_{S1}$$ $$- \frac{1}{R_1} V_A^{(1)} + \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_3} \right) V_B^{(1)} = 0$$

矩阵形式（ $L$ 不变）：

$$L \mathbf{x}_1 = \mathbf{f}_1, \quad \mathbf{f}_1 = \begin{pmatrix} I_{S1} \\ 0 \end{pmatrix}$$

解得：

$$V_A^{(1)} = \frac{I_{S1}}{\Delta} \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_3} \right), \quad V_B^{(1)} = \frac{I_{S1}}{\Delta} \cdot \frac{1}{R_1}$$

步骤2：仅 $I_{S2}$ 作用（ $I_{S1}$ 开路）

此时 $I_{S1} = 0$ ，方程：

$$\left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) V_A^{(2)} - \frac{1}{R_1} V_B^{(2)} = 0$$ $$- \frac{1}{R_1} V_A^{(2)} + \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_3} \right) V_B^{(2)} = I_{S2}$$

矩阵形式：

$$L \mathbf{x}_2 = \mathbf{f}_2, \quad \mathbf{f}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ I_{S2} \end{pmatrix}$$

解得：

$$V_A^{(2)} = \frac{I_{S2}}{\Delta} \cdot \frac{1}{R_1}, \quad V_B^{(2)} = \frac{I_{S2}}{\Delta} \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$$

步骤3：叠加

$$V_A = V_A^{(1)} + V_A^{(2)}, \quad V_B = V_B^{(1)} + V_B^{(2)}$$

结果与直接解法一致。

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**线性代数视角：叠加前与叠加后的 $L, \mathbf{x}, \mathbf{f}$ **

1. 叠加前（原问题）

• 变量向量 $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} V_A \\ V_B \end{pmatrix}$
• 激励向量 $\mathbf{f} = \begin{pmatrix} I_{S1} \\ I_{S2} \end{pmatrix}$
• 系数矩阵 $L = \begin{pmatrix} G_1 + G_2 & -G_1 \\ -G_1 & G_1 + G_3 \end{pmatrix}$ ，其中 $G_i = 1/R_i$ 为电导。

方程： $L \mathbf{x} = \mathbf{f}$ 。

2. 叠加中（两个子问题）

• 子问题1（仅 $I_{S1}$ ）：

  • $\mathbf{x}_1 = \begin{pmatrix} V_A^{(1)} \\ V_B^{(1)} \end{pmatrix}$
  • $\mathbf{f}_1 = \begin{pmatrix} I_{S1} \\ 0 \end{pmatrix}$
  • ** $L$ 不变**（与原始相同）。
  • 满足： $L \mathbf{x}_1 = \mathbf{f}_1$

• 子问题2（仅 $I_{S2}$ ）：

  • $\mathbf{x}_2 = \begin{pmatrix} V_A^{(2)} \\ V_B^{(2)} \end{pmatrix}$
  • $\mathbf{f}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ I_{S2} \end{pmatrix}$
  • ** $L$ 不变**（与原始相同）。
  • 满足： $L \mathbf{x}_2 = \mathbf{f}_2$

3. 叠加后（解的合成）

• 激励叠加： $\mathbf{f}_1 + \mathbf{f}_2 = \begin{pmatrix} I_{S1} \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ I_{S2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_{S1} \\ I_{S2} \end{pmatrix} = \mathbf{f}$
• 响应叠加： $\mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2 = \begin{pmatrix} V_A^{(1)} + V_A^{(2)} \\ V_B^{(1)} + V_B^{(2)} \end{pmatrix}$

4. 如何体现叠加原理

由于 $L$ 是线性算子（矩阵），它具有可加性和齐次性：

$$L(\mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2) = L\mathbf{x}_1 + L\mathbf{x}_2 = \mathbf{f}_1 + \mathbf{f}_2 = \mathbf{f}$$

这意味着 $\mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2$ 正是原方程 $L \mathbf{x} = \mathbf{f}$ 的解 $\mathbf{x}$ 。这就是叠加原理的矩阵表达。

关键点：

• $L$ 仅由电路拓扑和线性元件参数（电阻值）决定，与激励源无关，因此在所有子问题中保持不变。
• 激励向量 $\mathbf{f}$ 可以按独立源进行线性分解（ $\mathbf{f} = \sum \mathbf{f}_k$ ）。
• 线性系统保证了解的可加性（ $\mathbf{x} = \sum \mathbf{x}_k$ ）。

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总结

对于电流源电路，叠加原理同样适用，因为描述电路的节点电压方程是线性的。从线性代数看，叠加原理成立的核心是系数矩阵 $L$ 的线性性质（不变性和可加性）。通过将多源问题分解为多个单源子问题（每个子问题保持相同的 $L$ ，仅激励向量变化），并利用线性算子的性质将子解相加，即可得到总解。